试题

当k=1，2，3，…，2004，2005时，求所有函数y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和．

解：设y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1与x轴的交点坐标为（x₁，O）、（x₂，O），
∴|x₁-x₂|=

(2k+1) 2-4k(k+1)

|k(k+1)|

=

1

|k(k+1)|

，
而k为正整数，
∴|x₁-x₂|=

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，
∴当k=1，2，3，…，2004，2005，
所有函数y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2005

-

1

2006

）
=1-

1

2006

=

2005

2006

．
解：设y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1与x轴的交点坐标为（x₁，O）、（x₂，O），
∴|x₁-x₂|=

(2k+1) 2-4k(k+1)

|k(k+1)|

=

1

|k(k+1)|

，
而k为正整数，
∴|x₁-x₂|=

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，
∴当k=1，2，3，…，2004，2005，
所有函数y=k（k+1）x²-（2k+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长度的和
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2005

-

1

2006

）
=1-

1

2006

=

2005

2006

．