试题

设m，n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求m，n的值．

解：因为一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为mt和-3，所以二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|．
由题意，|mt+3|≥|2t+n|，即（mt+3）²≥（2t+n）²，即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0．
由题意知，m²-4≠0，且上式对一切实数t恒成立，
所以

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

·

m＞2 4(mn-6)2≤0

·

m＞2 mn=6

，
所以

m=3 n=2

或

m=6 n=1.

解：因为一元二次方程x²+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为mt和-3，所以二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|．
由题意，|mt+3|≥|2t+n|，即（mt+3）²≥（2t+n）²，即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0．
由题意知，m²-4≠0，且上式对一切实数t恒成立，
所以

m2-4＞0 △=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

·

m＞2 4(mn-6)2≤0

·

m＞2 mn=6

，
所以

m=3 n=2

或

m=6 n=1.