试题

题目：
已知函数y=x2+（b-1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2-x1＞1；
（1）求证：b2＞2（b+2c）；
（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．
答案
证明：（1）∵令y=x2+（b-1）x+c中y=0，
得到x2+（b-1）x+c=0，
∴x=
-(b-1)±
(b-1)2-4c
2
，又x2-x1＞1，
∴
(b-1)2-4c
＞1，
∴b2-2b+1-4c＞1，
∴b2＞2（b+2c）；

（2）由已知x2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2），
∴x2+bx+c=（x-x1）（x-x2）+x，
∴t2+bt+c=（t-x1）（t-x2）+t，
t2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1=（t-x1）（t-x2+1），
∵t＜x1，
∴t-x1＜0，
∵x2-x1＞1，
∴t＜x1＜x2-1，
∴t-x2+1＜0，
∴（t-x1）（t-x2+1）＞0，
即t2+bt+c＞x1．
证明：（1）∵令y=x2+（b-1）x+c中y=0，
得到x2+（b-1）x+c=0，
∴x=
-(b-1)±
(b-1)2-4c
2
，又x2-x1＞1，
∴
(b-1)2-4c
＞1，
∴b2-2b+1-4c＞1，
∴b2＞2（b+2c）；

（2）由已知x2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2），
∴x2+bx+c=（x-x1）（x-x2）+x，
∴t2+bt+c=（t-x1）（t-x2）+t，
t2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1=（t-x1）（t-x2+1），
∵t＜x1，
∴t-x1＜0，
∵x2-x1＞1，
∴t＜x1＜x2-1，
∴t-x2+1＜0，
∴（t-x1）（t-x2+1）＞0，
即t2+bt+c＞x1．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
（1）首先利用求根公式求出x的值，再由x2-x1＞1求解；
（2）已知x2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2）推出（t-x1）（t-x2+1）．根据t＜x1推出答案．
综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识．
证明题；压轴题；探究型．
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