试题

题目：
已知x2+ax+a-2=0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a＜0，当y=x2+ax+a-2的图象与x轴的两个交点的距离为
13
时，求出此二次函数的解析式．
答案
解：（1）∵△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）根据两点间距离公式：
a2-4(a-2)
|a|
=
13
，
解得a=-1或a=
2
3
（不符合题意，舍去）．
所以函数解析式为：y=x2-x-3．
解：（1）∵△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）根据两点间距离公式：
a2-4(a-2)
|a|
=
13
，
解得a=-1或a=
2
3
（不符合题意，舍去）．
所以函数解析式为：y=x2-x-3．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；根的判别式．
（1）根据根的判别式与方程的关系，求出△的值，若为正数，则此方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟悉根的判别式和两点间的距离公式是解题的关键．
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