试题

题目：
（2010·太仓市模拟）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-
2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
与x轴交于AnBn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009+A2010B2010的值是
2010
2011
2010
2011
．
答案
2010
2011

解：∵抛物线y=x2-
2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
与x轴交于AnBn两点，
∴令y=0得，x2-
2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
=0
∴方程分解为：（x-
1
n
）（x-
1
n+1
）=0，
∴AnBn=
1
n
-
1
n+1
，
∴A1B1+A2B2+…+A2009B2009+A2010B2010=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2010
-
1
2011
=1-
1
2011
=
2010
2011
．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
由题意n为自然数，抛物线y=x2-
2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
与x轴交于AnBn两点，关键是把方程x2-
2n+1
n(n+1)
x+
1
n(n+1)
=0分解因式，求出方程的解，从而发现规律来解题．
解此题的关键是要会分解因式，找出AnBn的表达式，此题此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题．
压轴题；规律型．
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