试题

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²-2x+3的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D、C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）在y轴上找一点P，使△ABP是直角三角形，并求出点P的坐标．

解：（1）设y=0，则y=-x²-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=-1，
∴D（-2，3），
∵点D、C关于抛物线的对称轴对称，
∴四边形ABCD为梯形，
∴S_ABCD=

(AB+DC)×OC

2

=

4×3

2

=6；
（2）如图所示：依AB为直径画圆，交y轴于点P，
∵AB为圆的直径，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP²=AO·BO=3×1=3，
∴OP=

3

，
∴点P（0，

3

）或（0，-

3

）．
解：（1）设y=0，则y=-x²-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设x=0，则y=3，
∴C（0，3），
∵抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=-1，
∴D（-2，3），
∵点D、C关于抛物线的对称轴对称，
∴四边形ABCD为梯形，
∴S_ABCD=

(AB+DC)×OC

2

=

4×3

2

=6；
（2）如图所示：依AB为直径画圆，交y轴于点P，
∵AB为圆的直径，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP²=AO·BO=3×1=3，
∴OP=

3

，
∴点P（0，

3

）或（0，-

3

）．