试题

题目：
青果学院如图，抛物线y=-x2+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．
答案
解：（1）将-n=4，即n=-4，
故函数解析式为y=-x2+3x+4；

（2）可见，当P位于二次函数顶点时△ABP面积的最大，
∵y=-x2+3x+4=-（x2-3x+
9
4
-
9
4
）+4=-（x2-3x+
9
4
）+
9
4
+4=-（x-
3
2
）2+
25
4
，
∴二次函数顶点坐标为（
3
2
，
25
4
）．
当y=0时，-x2+3x+4=0，
解得，x1=-1，x2=4．
S△ABP最大值=
1
2
×5×
25
4
=
125
8
．
解：（1）将-n=4，即n=-4，
故函数解析式为y=-x2+3x+4；

（2）可见，当P位于二次函数顶点时△ABP面积的最大，
∵y=-x2+3x+4=-（x2-3x+
9
4
-
9
4
）+4=-（x2-3x+
9
4
）+
9
4
+4=-（x-
3
2
）2+
25
4
，
∴二次函数顶点坐标为（
3
2
，
25
4
）．
当y=0时，-x2+3x+4=0，
解得，x1=-1，x2=4．
S△ABP最大值=
1
2
×5×
25
4
=
125
8
．
考点梳理
待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．
（1）将点C（0，4）代入抛物线y=-x2+3x-n即可得到n的值，从而求出二次函数解析式；
（2）由图可知，当P位于二次函数顶点时△ABP面积的最大，求出函数与x轴的交点及函数最值即可求出△ABP面积的最大值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的交点，综合性较强．
计算题．
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