试题

题目：
已知函数y=x2-mx+m-2．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数y有最小值-
5
4
，求函数表达式．
答案
（1）证明：y=x2-mx+m-2，
△=（-m）2-4（m-2）
=m2-4m+8
=（m-2）2+4，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）
4(m-2)-m2
4
=-
5
4
，
整理得m2-4m+3=0，
解得m1=1，m2=3，
当m=1时，函数解析式为y=x2-x-1；
当m=3时，函数解析式为y=x2-3x+1．
（1）证明：y=x2-mx+m-2，
△=（-m）2-4（m-2）
=m2-4m+8
=（m-2）2+4，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即△＞0，
∴不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）
4(m-2)-m2
4
=-
5
4
，
整理得m2-4m+3=0，
解得m1=1，m2=3，
当m=1时，函数解析式为y=x2-x-1；
当m=3时，函数解析式为y=x2-3x+1．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；二次函数的最值．
（1）先计算判别式的值得到△=m2-4m+8，然后配方得△=（m-2）2+4，利用非负数的性质得△＞0，于是根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论；
（2）根据二次函数的最值问题得到
4(m-2)-m2
4
=-
5
4
，解方程得m1=1，m2=3，然后把m的值分别代入原解析式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的最值问题．
证明题．
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