试题
题目:
已知抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴交于A、B两点,若A、B两点的横坐标分别是一元二次方程x
2
-2x-3=0的两个实数根,与y轴交于点C(0,3),
(1)求抛物线的解析式;
(2)在此抛物线上求点P,使S
△ABP
=8.
答案
解:(1)∵一元二次方程x
2
-2x-3=0的两个实数根为,x
1
=3,x
2
=-1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴
c=3
a-b+c=0
9a+3b+c=0
,
解得
a=-1
b=2
c=3
,
故此抛物线的解析式为:y=-x
2
+2x+3;
(2)设P点坐标为(a,b),
∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∵S
△ABP
=8,
1
2
AB·|b|=8,
解得|b|=4,
∵点P在抛物线y=-x
2
+2x+3上,
∴当b=4时,即-a
2
+2a+3=4,解得a=1;
当b=-4时,即-a
2
+2a+3=-4,解得a=1+2
2
或a=1-2
2
,
∴P点坐标为P
1
(1,4),P
2
(1+2
2
,-4),P
3
(1-2
2
,-4).
解:(1)∵一元二次方程x
2
-2x-3=0的两个实数根为,x
1
=3,x
2
=-1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴
c=3
a-b+c=0
9a+3b+c=0
,
解得
a=-1
b=2
c=3
,
故此抛物线的解析式为:y=-x
2
+2x+3;
(2)设P点坐标为(a,b),
∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∵S
△ABP
=8,
1
2
AB·|b|=8,
解得|b|=4,
∵点P在抛物线y=-x
2
+2x+3上,
∴当b=4时,即-a
2
+2a+3=4,解得a=1;
当b=-4时,即-a
2
+2a+3=-4,解得a=1+2
2
或a=1-2
2
,
∴P点坐标为P
1
(1,4),P
2
(1+2
2
,-4),P
3
(1-2
2
,-4).
考点梳理
考点
分析
点评
专题
抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.
(1)先求出一元二次方程x
2
-2x-3=0的两个实数根即可得出A、B两点的坐标,再根据抛物线与y轴交于点C(0,3),可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)先求出AB的长,再根据S
△ABP
=8可求出P点的纵坐标,再根据P点在抛物线上即可得出其横坐标,故可得出结论.
本题考查的是抛物线与x轴的交点及用到定系数法求抛物线的解析式,根据题意求出A、B两点的坐标是解答此题的关键.
探究型.
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1
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1
<x
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1
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2
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1
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1
=2,x
2
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1
4
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1
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