试题

题目:
已知二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到二次函数y=x2-8x+10.
(1)求b、c的值;
(2)若第(1)小题中的函数与x轴的交点为A、B,试在x轴的下方的图象上确定一点P,使得△PAB的面积最大,你能求出△PAB的面积吗?
答案
解:(1)y=x2-8x+10=(x-4)2-6,
把抛物线y=(x-4)2-6向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为y=(x-6)2-9=x2-12x+27,
所以b=-12,c=27;
(2)解方程x2-12x+27=0得x1=3,x2=9,
所以AB=9-3=6,
点P为抛物线的顶点时,△PAB的面积最大,即P点坐标为(6,-9),
所以△PAB的面积=
1
2
×6×9=27.
解:(1)y=x2-8x+10=(x-4)2-6,
把抛物线y=(x-4)2-6向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为y=(x-6)2-9=x2-12x+27,
所以b=-12,c=27;
(2)解方程x2-12x+27=0得x1=3,x2=9,
所以AB=9-3=6,
点P为抛物线的顶点时,△PAB的面积最大,即P点坐标为(6,-9),
所以△PAB的面积=
1
2
×6×9=27.
考点梳理
二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.
(1)先把y=x2-8x+10配方得到y=(x-4)2-6,根据题意反向平移,即把抛物线y=(x-4)2-6向右平移2个单位长度,向下平移3个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为y=(x-6)2-9=x2-12x+27,于是可得到b=-12,c=27;
(2)令y=0,解方程x2-12x+27=0得到抛物线与x轴两交点坐标,则AB=6,由于点P为抛物线的顶点时,△PAB的面积最大,则P点坐标为(6,-9),然后根据三角形面积公式求解.
本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
计算题.
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