试题

题目：
设二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图象在x轴上所截得的线段长为4，求a、b、c的值．
答案
解：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，
∴x1+x2=-
b
a
，
x1·x2=
c
a
，
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
b2-4ac
a2
=4，①
而x=3时取得最大值10，
∴-
b
2a
=3，②
4ac-b2
4a
=10，③
联立①②③解之得：
a=-
5
2
，b=15，c=-
25
2
．
解：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，
∴x1+x2=-
b
a
，
x1·x2=
c
a
，
∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
b2-4ac
a2
=4，①
而x=3时取得最大值10，
∴-
b
2a
=3，②
4ac-b2
4a
=10，③
联立①②③解之得：
a=-
5
2
，b=15，c=-
25
2
．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值．
设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，那么可以得到|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
，然后利用根与系数的关系和已知可以得到关于a、b、c的方程，又x=3时取得最大值10，由此可以得到关于a、b、c的方程，解这些方程组成的方程组即可求解．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数的最值等知识，解题的关键是利用前面的知识建立关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．
计算题；数形结合；方程思想．
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