试题

题目：
设p是实数，二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．
（1）求证：2px1+x22+3p＞0；
（2）若A、B两点之间的距离不超过|2p-3|，求P的最大值．
答案
解：（1）∵二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．
∴△=4p2+4p＞0，x22-2px2-p=0，
∴2px1+x22+3p，
=2px1+2px2+p+3p，
=2p（x1+x2）+4p，
=4p2+4p＞0；

（2）AB=|x1-x2|，
=
(x1+x2)2-4x1x2
，
=
4p2+4p
≤|2p-3|，
解之得p≤
9
16
，
又当p=
9
16
时满足题意，
故p的最大值是
9
16
．
解：（1）∵二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）．
∴△=4p2+4p＞0，x22-2px2-p=0，
∴2px1+x22+3p，
=2px1+2px2+p+3p，
=2p（x1+x2）+4p，
=4p2+4p＞0；

（2）AB=|x1-x2|，
=
(x1+x2)2-4x1x2
，
=
4p2+4p
≤|2p-3|，
解之得p≤
9
16
，
又当p=
9
16
时满足题意，
故p的最大值是
9
16
．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
（1）由于二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点，由此得到其判别式是正数，同时把x2代入函数解析式然后变形即可解决问题；
（2）由于AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4p2+4p
，然后利用已知条件即可得到关于p的不等式，解不等式即可求解．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，首先利用抛物线与x轴有交点得到判别式是正数，然后利用图象上点的坐标满足解析式即可求解；同时也利用了公式AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4p2+4p
和解不等式．
计算题；函数思想；方程思想．
找相似题