试题

已知抛物线y=（1-m）x²+4x-3开口向下，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）当x₁²+x₂²=10时，求抛物线的解析式．

解：（1）∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴

1-m＜0 16+12(1-m)＞0

∴1＜m＜

7

3

；

（2）∵x₁，x₂是方程（1-m）x²+4x-3=0的两根，
∴x₁+x₂=

-4

1-m

，x1x2=

-3

1-m

，
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴(

-4

1-m

)2+

6

1-m

=10，
∴5m²-7m-6=0，
∴m=-

3

5

或m=2，
又∵1＜m＜

7

3

，
∴m=2，故所求函数解析式为y=-x²+4x-3．
解：（1）∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴

1-m＜0 16+12(1-m)＞0

∴1＜m＜

7

3

；

（2）∵x₁，x₂是方程（1-m）x²+4x-3=0的两根，
∴x₁+x₂=

-4

1-m

，x1x2=

-3

1-m

，
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
∴(

-4

1-m

)2+

6

1-m

=10，
∴5m²-7m-6=0，
∴m=-

3

5

或m=2，
又∵1＜m＜

7

3

，
∴m=2，故所求函数解析式为y=-x²+4x-3．