试题

题目：
已知抛物线y=x2-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，且抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x2，求a、b的值．
答案
解：设抛物线y=x2-2ax+2a+b的图象与x轴两个交点的横坐标分别是x1、x2．
则x1+x2=2a，x1·x2=2a+b．
∵抛物线y=x2-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，
∴|x1-x2|=3，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2，即9=4a2-8a-4b，①
∵y=x2-2ax+2a+b=（x-a）2+2a+b-a2，
∴顶点坐标为：（a，2a+b-a2）．
又∵抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x2，
∴2a+b-a2=-a2，
解得，b=-2a，②
由①②解得，a=
3
2
，b=-3，或a=-
3
2
，b=3．
解：设抛物线y=x2-2ax+2a+b的图象与x轴两个交点的横坐标分别是x1、x2．
则x1+x2=2a，x1·x2=2a+b．
∵抛物线y=x2-2ax+2a+b在x轴上截得的线段长为3，
∴|x1-x2|=3，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2，即9=4a2-8a-4b，①
∵y=x2-2ax+2a+b=（x-a）2+2a+b-a2，
∴顶点坐标为：（a，2a+b-a2）．
又∵抛物线的顶点坐标满足关系式：y=-x2，
∴2a+b-a2=-a2，
解得，b=-2a，②
由①②解得，a=
3
2
，b=-3，或a=-
3
2
，b=3．
考点梳理
抛物线与x轴的交点．
首先，设抛物线y=x2-2ax+2a+b的图象与x轴两个交点的横坐标分别是x1、x2．利用根与系数的关系求得x1+x2=2a，x1·x2=2a+b，由完全平方公式变形得到
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1·x2，即9=4a2-8a-4b，①
然后，根据顶点坐标公式和二次函数图象上点的坐标特征推知2a+b-a2=-a2，解得b=-2a，②
由①②解得，a=
3
2
，b=-3，或a=-
3
2
，b=3．
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，利用了完全平方公式的变形、一元二次方程的根与系数的关系等知识点．
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