试题

设抛物线y=x²+2ax+b与x轴有两个不同的交点
（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；
（2）通过（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．

解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+m，
根据题意得

4a2-4(b+m)

=2

4a2-4b

，
解得m=3b-3a²，
所以平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+3b-3a²=x²+2ax+4b-3a²；

（2）y=x²+2ax+b=（x+a）²+b-a²，其顶点坐标为（-a，b-a²），
∵新抛物线的表达式过抛物线y=x²+2ax+4b-3a²与x轴两交点，
∴可设新抛物线解析式为y=t（x²+2ax+4b-3a²），
把（-a，b-a²）代入得b-a²=t（a²-2a²+4b-3a²），解得t=

1

4

，
所以新抛物线的表达式过抛物线y=

1

4

x²+

1

2

ax+b-

3

4

a²．
解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+m，
根据题意得

4a2-4(b+m)

=2

4a2-4b

，
解得m=3b-3a²，
所以平移所得抛物线的解析式为y=x²+2ax+b+3b-3a²=x²+2ax+4b-3a²；

（2）y=x²+2ax+b=（x+a）²+b-a²，其顶点坐标为（-a，b-a²），
∵新抛物线的表达式过抛物线y=x²+2ax+4b-3a²与x轴两交点，
∴可设新抛物线解析式为y=t（x²+2ax+4b-3a²），
把（-a，b-a²）代入得b-a²=t（a²-2a²+4b-3a²），解得t=

1

4

，
所以新抛物线的表达式过抛物线y=

1

4

x²+

1

2

ax+b-

3

4

a²．