试题

已知抛物线y=x²+（k+1）x+

k-3

4

．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设x₁，x₂是此抛物线与x轴两交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=k²+

5

2

，求此抛物线的解析式．

（1）证明：△=（k+1）²-4×

k-3

4

=k²+k+4
=（k+

1

2

）²+

15

4

，
∵（k+

1

2

）²≥0，
∴（k+

1

2

）²+

15

4

＞0，即△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）解：根据题意得x₁+x₂=-（k+1），x₁·x₂=

k-3

4

，
∵x₁²+x₂²=k²+

5

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁·x₂=k²+

5

2

，
∴（k+1）²-2×

k-3

4

=k²+

5

2

，解得k=0，
∴抛物线解析式为y=x²+x-

3

4

．
（1）证明：△=（k+1）²-4×

k-3

4

=k²+k+4
=（k+

1

2

）²+

15

4

，
∵（k+

1

2

）²≥0，
∴（k+

1

2

）²+

15

4

＞0，即△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）解：根据题意得x₁+x₂=-（k+1），x₁·x₂=

k-3

4

，
∵x₁²+x₂²=k²+

5

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁·x₂=k²+

5

2

，
∴（k+1）²-2×

k-3

4

=k²+

5

2

，解得k=0，
∴抛物线解析式为y=x²+x-

3

4

．