试题

已知两个二次函数y₁，y₂，当x=m（m＜0）时，y₁取最小值6，y₂=7；又y₂的最小值-5.5；y₁+y₂=x²-3x+9．
（1）求m的值；
（2）求二次函数y₁，y₂的表达式．

解：（1）由y₁+y₂=x²-3x+9可知，
6+7=m²-3m+9，
解得：m₁=-1，m₂=4，
∵m＜0，
所以m=-1，

（2）设y₁=b（x+1）²+6；
    y₂=c（x-a）²-5.5；
    于是，y₁+y₂=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5，
    即x²-3x+9=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5=（b+c）x²+（2b-2ca）x+（b+ca²+0.5），
    由二次项系数相等得：c+b=1，
    即c=1-b，①
    由一次项系数相等得：-3=2b-2ca②，
    由常数项相等得：9=b+ca²+0.5 ③，
    由第（1）问，x=-1时，y₂=7，即c（-1-a）²-5.5=7 ④
    联立以上四个方程（具体过程略，可先把c=b-1代入后面三个方程，再消去b），
    解得：c=

1

2

，b=

1

2

，a=4，
∴y₁=

1

2

（x+1）²+6；y₂=

1

2

（x-4）²-5.5．
解：（1）由y₁+y₂=x²-3x+9可知，
6+7=m²-3m+9，
解得：m₁=-1，m₂=4，
∵m＜0，
所以m=-1，

（2）设y₁=b（x+1）²+6；
    y₂=c（x-a）²-5.5；
    于是，y₁+y₂=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5，
    即x²-3x+9=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5=（b+c）x²+（2b-2ca）x+（b+ca²+0.5），
    由二次项系数相等得：c+b=1，
    即c=1-b，①
    由一次项系数相等得：-3=2b-2ca②，
    由常数项相等得：9=b+ca²+0.5 ③，
    由第（1）问，x=-1时，y₂=7，即c（-1-a）²-5.5=7 ④
    联立以上四个方程（具体过程略，可先把c=b-1代入后面三个方程，再消去b），
    解得：c=

1

2

，b=

1

2

，a=4，
∴y₁=

1

2

（x+1）²+6；y₂=

1

2

（x-4）²-5.5．