试题

已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，-4）．直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m=2时，求∠DCF的大小；
（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF=45°，且满足条件的点P只有两个，则m的值为．（第（3）问不要求写解答过程）

解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得a=

1

4

．
∴抛物线的解析式为y=

1

4

(x+2)(x-8)，即y=

1

4

x2-

3

2

x-4；

（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∵m=2，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=

1

2

∠DMF=45°．

（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-

25

4

）
设F（3，3+m），则FG=m+3+

25

4

，设D关于对称轴的对称点为D₁，
当四边形DGD₁F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D₁重合，
故DD₁=F′G，D点横坐标为：x=-（

1

2

F′G-3）=-

4m+13

8

，纵坐标为-（

1

2

F′G-3-m）=

4m-13

8

，
将D点坐标抛物线解析式，解得m=-

5

4

．