试题

（2010·广阳区二模）如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上的另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定该抛物线的解析式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P在该函数图象上，且点P到x轴的距离为8，求出点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点，
∴可得，0=n²-9，解得n=±3，
又∵顶点在第一象限，
即x=-

2n

2×(-1)

＞0，得n＞0，
∴n=3，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²+6x；

（2）抛物线的对称轴为：x=-

2×3

2×(-1)

=3，
∴y=-9+18=9，
∴抛物线的顶点坐标为：（3，9）；

（3）根据题意，
设点P的坐标为：（x，8）或（x，-8），
∴8=-x²+6x或-8=-x²+6x，
整理得x²-6x+8=0或x²-6x-8=0，
解得x=2或x=4；x=3±

17

；
∴点P的坐标为：（2，8）或（4，8）或（3-

17

，-8）或（3+

17

，-8）．
解：（1）∵抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点，
∴可得，0=n²-9，解得n=±3，
又∵顶点在第一象限，
即x=-

2n

2×(-1)

＞0，得n＞0，
∴n=3，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²+6x；

（2）抛物线的对称轴为：x=-

2×3

2×(-1)

=3，
∴y=-9+18=9，
∴抛物线的顶点坐标为：（3，9）；

（3）根据题意，
设点P的坐标为：（x，8）或（x，-8），
∴8=-x²+6x或-8=-x²+6x，
整理得x²-6x+8=0或x²-6x-8=0，
解得x=2或x=4；x=3±

17

；
∴点P的坐标为：（2，8）或（4，8）或（3-

17

，-8）或（3+

17

，-8）．