试题

（2001·济南）如图，等边△ABC的边长为2

3

，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（2）如图，设⊙P是△ABC的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积．
（3）点D为y轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P设y轴运动，设P点坐标为（0，a），则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时a的取值范围．

解：（1）由条件求得A（0，-3），B（-

3

，0），C（

3

，0），
设过A、B、C三点抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
代入，得

3a+ 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=0 c=-3

，
∴所求抛物线解析式为：y=x²-3．

（2）易证⊙P切BC于O点．
如图，连接PE、PF，
∵△ABC=

1

2

×BC×PE×3=

1

2

BC×OA，
∴3PE=OA=3，
∴PE=PF=1，PA=2，AE=

3

，
∴S_△APE=

3

2

，S_扇形EPF=

π

3

，S_阴影=2S_△APE-S_扇形EPF=

3

-

π

3

，
（或运用S_阴影=

S△ABC-S圆O

3

=

3 3 -π

3

=

3

-

π

3

求得．）

（3）当点D在y轴正半轴时，
如图，设⊙D分别切直线AB、AC于M、N点，连接DM，
∵DM=3，∠DAM=30°，
∴AD=6，
又∵AP=2，
∴PD=4，
∴PD=OD+OP，
∴⊙P与⊙D外切．
当点D在y轴负半轴时，设⊙D切直线AB、AC于点Q、G，连接DG，易求得DP=8，
∴DP＞3+1，
∴⊙D与⊙P外离．

（4）⊙P与直线AB、AC有三种位置关系：相切、相交、相离．
如图，当a=-1或a=-5时，⊙P与直线AB、AC相切；
当-5＜a＜-1时，⊙P与直线AB、AC相交；
当a＜-5或a＞-1时，⊙P与直线AB、AC相离．
解：（1）由条件求得A（0，-3），B（-

3

，0），C（

3

，0），
设过A、B、C三点抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
代入，得

3a+ 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=0 c=-3

，
∴所求抛物线解析式为：y=x²-3．

（2）易证⊙P切BC于O点．
如图，连接PE、PF，
∵△ABC=

1

2

×BC×PE×3=

1

2

BC×OA，
∴3PE=OA=3，
∴PE=PF=1，PA=2，AE=

3

，
∴S_△APE=

3

2

，S_扇形EPF=

π

3

，S_阴影=2S_△APE-S_扇形EPF=

3

-

π

3

，
（或运用S_阴影=

S△ABC-S圆O

3

=

3 3 -π

3

=

3

-

π

3

求得．）

（3）当点D在y轴正半轴时，
如图，设⊙D分别切直线AB、AC于M、N点，连接DM，
∵DM=3，∠DAM=30°，
∴AD=6，
又∵AP=2，
∴PD=4，
∴PD=OD+OP，
∴⊙P与⊙D外切．
当点D在y轴负半轴时，设⊙D切直线AB、AC于点Q、G，连接DG，易求得DP=8，
∴DP＞3+1，
∴⊙D与⊙P外离．

（4）⊙P与直线AB、AC有三种位置关系：相切、相交、相离．
如图，当a=-1或a=-5时，⊙P与直线AB、AC相切；
当-5＜a＜-1时，⊙P与直线AB、AC相交；
当a＜-5或a＞-1时，⊙P与直线AB、AC相离．