试题

（2006·海淀区）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．

（1）解：如图1，点M即为所求；

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4
依题意

4=16a+4b+4 2=36a+6b+4

，解得

a=- 1 6 b= 2 3

所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=-

1

6

x²+

2

3

x+4
把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得y=-

1

6

×49+

2

3

×7+4=

1

2

≠0
所以点D不在经过A、B、C的抛物线上；

（3）证明：如图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5
在Rt△CEM中，∠CEM=90°
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20
在Rt△CED中，∠CED=90°
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5
∴MD²=MC²+CD²
∴∠MCD=90°
∵MC为半径
∴直线CD是⊙M的切线．
（1）解：如图1，点M即为所求；

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4
依题意

4=16a+4b+4 2=36a+6b+4

，解得

a=- 1 6 b= 2 3

所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=-

1

6

x²+

2

3

x+4
把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得y=-

1

6

×49+

2

3

×7+4=

1

2

≠0
所以点D不在经过A、B、C的抛物线上；

（3）证明：如图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD

∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5
在Rt△CEM中，∠CEM=90°
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20
在Rt△CED中，∠CED=90°
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5
∴MD²=MC²+CD²
∴∠MCD=90°
∵MC为半径
∴直线CD是⊙M的切线．