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如图，已知正方形OABC的边长为4，⊙M是以OC为直径的圆，现以O为原点，边OA、OC所在的直线为坐标轴建
立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线y=ax2+bx经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P．
（1）求证：4a+b=0；
（2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求a的取值范围；
（3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E．
①求E点的坐标；
②如果抛物线与直线y=x-4只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由． -
如图平行四边形OABC，A点坐标为（2，0）抛物线y=ax2+bx+4经过点A、B、C三点，交y轴于D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点且△OBP≌△ODP，求P点坐标；
（3）直线MN∥x轴，交抛物线于N，交y轴负半轴于M，连线段BN、AM，BN交OD于E，得AM∥BN，求线段MN的长．
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如图①，在梯形ABCD中，AB=BC=10 cm，CD=6 cm，∠C=∠D=90°，如图②，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止．
（1）设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为S（cm2），求S（cm2）关于t（秒）的函数关系式；并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
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如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO中，通过两次全等变换得到Rt△COD，且B（0，2）、C（0，-1），抛物线y=ax2+bx+c过A、C、D三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△POD的外心在OD上？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点E是抛物线的对称轴上一点，若四边形AODE是菱形，求E点的坐标． -
己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为y=-
+1．3 3
（1）求线段AC的长和∠ACO的度数；
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒
个单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒．3
①设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最小值；
②是否存在这样的时刻t，使得△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标． -
已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），以AB为直径画圆．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求该圆与抛物线交点（除A、B外）坐标；
（3）以AB的中点O′为圆心画圆，该圆的半径r与此抛物线的交点个数有何关系（直接写出结论） -
已知，抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在线段AP上是否存在一点M，使△MBC的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． -
已知抛物线y=-x2-2mx-m2+2m+1的顶点坐标为（-1，3），
（1）求m的值；
（2）抛物线与直线y=2x的两个交点分别为A、B（A在右侧），点P是抛物线上AB之间的点，点Q是直线y=2x上AB之间的点，且PQ∥y轴．求PQ长的最大值；
（3）在（2）的条件下，求当△OPQ为直角三角形时Q点的坐标． -
如图，二次函数y=-
ax2+1 36
ax+a（a＞0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，过A点作x轴的平行线交抛物线于另一点D，线段OC上有一动点P，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E．问题：1 4 
（1）当a变化时，线段AD的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出AD的长；
（2）若a为定值，设OP=x，OE=y，试求y关于x的函数关系式；
（3）若在线段OC上存在不同的两点P1、P2使相应的点E1、E2都与点A重合，试求a的取值范围． -
已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
