试题

如图，已知正方形OABC的边长为4，⊙M是以OC为直径的圆，现以O为原点，边OA、OC所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线y=ax²+bx经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P．
（1）求证：4a+b=0；
（2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求a的取值范围；
（3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E．
①求E点的坐标；
②如果抛物线与直线y=x-4只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由．

解：
（1）∵对称轴为直线x=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0；

（2）y=ax²-4ax，P（2，-4a），
∴-2＜-4a＜0，
∴0＜a＜

1

2

．

（3）①设CE=x，Rt△ABE中：4²+（4-x）²=（4+x）²，
∴x=1，
∴x=1，
∴E（4，-1）
②只有一个公共点可知，

y=ax2-4ax y=x-4

，
即ax²-（4a+1）x+4=0，△=16a²-8a+1=0，
解得a=

1

4

，
故P点坐标为（2，-1），
故PE∥MC，PE=|2-4|=2，MC=|2-4|=2，∠MCE是直角，
∴四边形CMPE为矩形．
解：
（1）∵对称轴为直线x=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0；

（2）y=ax²-4ax，P（2，-4a），
∴-2＜-4a＜0，
∴0＜a＜

1

2

．

（3）①设CE=x，Rt△ABE中：4²+（4-x）²=（4+x）²，
∴x=1，
∴x=1，
∴E（4，-1）
②只有一个公共点可知，

y=ax2-4ax y=x-4

，
即ax²-（4a+1）x+4=0，△=16a²-8a+1=0，
解得a=

1

4

，
故P点坐标为（2，-1），
故PE∥MC，PE=|2-4|=2，MC=|2-4|=2，∠MCE是直角，
∴四边形CMPE为矩形．