试题

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO中，通过两次全等变换得到Rt△COD，且B（0，2）、C（0，-1），抛物线y=ax²+bx+c过A、C、D三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△POD的外心在OD上？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点E是抛物线的对称轴上一点，若四边形AODE是菱形，求E点的坐标．

解：（1）易知OB=CD=2，OC=AB=1；
由于B（0，2）、C（0，-1），
故A（1，2），D（-2，-1）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，则有：

a+b+c=2 4a-2b+c=-1 c=-1

，
解得

a=1 b=2 c=-1

；
故y=x²+2x-1．

（2）若△POD的外心在OD上，则∠OPD=90°；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，与CD的交点为N，
设P点的坐标为（-1，t）；
由于∠DPN=POM=90°-∠OPM，∠DNP=∠PMO=90°，
则：Rt△POM∽Rt△DNP，得：
t（t+1）=1，t=

-1± 5

2

．
故存在点P，使△POD的外心在OD上．
P点坐标为(-1，

-1+ 5

2

)或(-1，

-1- 5

2

)．

（3）假设存在符合条件的点E，设E（-1，m）；
则FE=2-m，EN=m+1；
若四边形AODE是菱形，则AE=DE，AE∥OD；
易知证得△ODC≌△EAF，△EDN≌△OAB，
已知△OAB≌△ODC，则△AEF≌△EDG；
故EF=DN=1，EN=AF=2，
所以m=1，
即点E的坐标为（-1，1）．
解：（1）易知OB=CD=2，OC=AB=1；
由于B（0，2）、C（0，-1），
故A（1，2），D（-2，-1）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，则有：

a+b+c=2 4a-2b+c=-1 c=-1

，
解得

a=1 b=2 c=-1

；
故y=x²+2x-1．

（2）若△POD的外心在OD上，则∠OPD=90°；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，与CD的交点为N，
设P点的坐标为（-1，t）；
由于∠DPN=POM=90°-∠OPM，∠DNP=∠PMO=90°，
则：Rt△POM∽Rt△DNP，得：
t（t+1）=1，t=

-1± 5

2

．
故存在点P，使△POD的外心在OD上．
P点坐标为(-1，

-1+ 5

2

)或(-1，

-1- 5

2

)．

（3）假设存在符合条件的点E，设E（-1，m）；
则FE=2-m，EN=m+1；
若四边形AODE是菱形，则AE=DE，AE∥OD；
易知证得△ODC≌△EAF，△EDN≌△OAB，
已知△OAB≌△ODC，则△AEF≌△EDG；
故EF=DN=1，EN=AF=2，
所以m=1，
即点E的坐标为（-1，1）．