试题

如图①，在梯形ABCD中，AB=BC=10 cm，CD=6 cm，∠C=∠D=90°，如图②，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止．
（1）设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为S（cm²），求S（cm²）关于t（秒）的函数关系式；并写出自变量t的取值范围；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）过点A作AM⊥BC于M，则AM=CD=6，
∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=6，
∴BM=

AB2-AM2

=

102-62

=8，
∴AD=MC=2，
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB
∴

PN

AM

=

BP

BA

∴

PN

6

=

t

10

∴PN=

3

5

t
ⅰ当点P在BA上运动时
S=

1

2

·BQ·NP=

1

2

t·

3

5

t=

3

10

t²（0≤t≤10）
ⅱ当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6
S=

1

2

·BQ·NP=

1

2

×10×6=30（10≤t≤12）
ⅲ当点P在DC上运动时
S=

1

2

·BQ·CP=

1

2

×10×（10+2+6-t）=-5t+90（12≤t≤18）．

（2）ⅰ当0≤t≤10时，S=

3

10

t²，S随t的增大而增大
则当t=10时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
ⅱ当10≤t≤12时，面积不变，S=30
ⅲ当12≤t≤18时，S=-5t+90，S随t的增大而减小．
则当t=12时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
综上所述，当10≤t≤12时，△PBQ的面积最大，最大面积为30cm²．
解：（1）过点A作AM⊥BC于M，则AM=CD=6，
∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=6，
∴BM=

AB2-AM2

=

102-62

=8，
∴AD=MC=2，
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB
∴

PN

AM

=

BP

BA

∴

PN

6

=

t

10

∴PN=

3

5

t
ⅰ当点P在BA上运动时
S=

1

2

·BQ·NP=

1

2

t·

3

5

t=

3

10

t²（0≤t≤10）
ⅱ当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6
S=

1

2

·BQ·NP=

1

2

×10×6=30（10≤t≤12）
ⅲ当点P在DC上运动时
S=

1

2

·BQ·CP=

1

2

×10×（10+2+6-t）=-5t+90（12≤t≤18）．

（2）ⅰ当0≤t≤10时，S=

3

10

t²，S随t的增大而增大
则当t=10时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
ⅱ当10≤t≤12时，面积不变，S=30
ⅲ当12≤t≤18时，S=-5t+90，S随t的增大而减小．
则当t=12时，△PBQ的面积最大，最大面积S=30
综上所述，当10≤t≤12时，△PBQ的面积最大，最大面积为30cm²．