试题

如图，二次函数y=-

1

36

ax2+

1

4

ax+a（a＞0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，过A点作x轴的平行线交抛物线于另一点D，线段OC上有一动点P，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E．问题：
（1）当a变化时，线段AD的长是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出AD的长；
（2）若a为定值，设OP=x，OE=y，试求y关于x的函数关系式；
（3）若在线段OC上存在不同的两点P₁、P₂使相应的点E₁、E₂都与点A重合，试求a的取值范围．

解：（1）DA的长度不变；
由抛物线的解析式知，其对称轴为：x=

9

2

；
易知A（0，a），则D（9，a），
故AD=9．

（2）易求得B（-3，0），C（12，0）；
①当0＜x＜9时，过D作DF⊥OC于F，
则FC=OC-AD=3，PF=9-x；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

9-x

y

=

a

x

，
即y=-

1

a

x²+

9

a

x；
②当9＜x＜12时，点E在x轴的下方，过D作DF⊥OC于F；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

y

x-9

=

x

a

，
即y=-

1

a

x²-

9

a

x；

（3）当y=a时，a=-

1

a

x²+

9

a

x，化为x²-9x+a²=0；
由题意得：△＞0，
即9²-4a²＞0，
又因为a＞0，
所以0＜a＜

9

2

．
解：（1）DA的长度不变；
由抛物线的解析式知，其对称轴为：x=

9

2

；
易知A（0，a），则D（9，a），
故AD=9．

（2）易求得B（-3，0），C（12，0）；
①当0＜x＜9时，过D作DF⊥OC于F，
则FC=OC-AD=3，PF=9-x；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

9-x

y

=

a

x

，
即y=-

1

a

x²+

9

a

x；
②当9＜x＜12时，点E在x轴的下方，过D作DF⊥OC于F；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

y

x-9

=

x

a

，
即y=-

1

a

x²-

9

a

x；

（3）当y=a时，a=-

1

a

x²+

9

a

x，化为x²-9x+a²=0；
由题意得：△＞0，
即9²-4a²＞0，
又因为a＞0，
所以0＜a＜

9

2

．