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（2013·南平模拟）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD如图放置，边AB在x轴上，点A坐标为（1，0），点C坐标为（3，m）（m＞0）．连接OC交AD与E，射线OD交BC延长线于F．
（1）求点E、F的坐标﹔
（2）当x的值改变时：
①证明﹕经过O、E、F三点的抛物线的最低点一定为原点﹔
②设经过O、E、F三点的抛物线与直线CD的交点为P，求PD的长﹔
③探究﹕△ECF能否成为等腰三角形？若能，请求出△ECF 的面积． -
（2013·普陀区模拟）如图，直线y=-2x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，S△OAB=16，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A，顶点M在直线y=-2x+n上．
（1）求n的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得△OPN和△AMN相似，求点P的坐标． -
（2013·沙河口区一模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线的顶点．AC、OD相交于点M．
（1）求点D的坐标；
（2）在x 轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上求点P的坐标，使∠DOP=45°（直接写出结果）． -
（2013·十堰模拟）如图，矩形OABC绕点O逆时针旋转90°得，矩形OA′B′C′，已知OA=1，AB=3，抛物线y=x2+bx+c过点A，C′，与y轴相交于点D．
（1）求抛物线解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使PC+PB′最小？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）设M为x轴一动点，点M从点A出发沿x轴负半轴方向以1个单位/秒运动，多少秒后△MAD是等腰三角形？并求点M坐标． -
（2013·双峰县模拟）如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2．0），其中x1＜x2，与y轴交于点C（0，3），且x1，x2满足2（x1+x2）+x1x2-1=0．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥X轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标． -
（2013·通州区一模）我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．
（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；
（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；
（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标． -
（2013·团风县模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=
x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线y=3 4
x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．1 2 
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标． -
（2013·吴中区二模）直线y=-
x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．1 3
（1）写出点A、B、C、D的坐标；
（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． -
如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点．
（1）若线段BE的长度比正方形ABCD的边长少2cm，且△ABE的面积为4cm2，试求这个正方形ABCD的面积；
（2）若正方形ABCD的面积为8cm2，E是边BC上的一个动点，设线段BE的长为xcm，△ABE的面积为ycm2，试求y与x之间的函数关系式和函数的定义域；
（3）当x取何值时，第（2）小题中所求函数的函数值为2？ -
已知抛物线y=-x2+（1-2a）x-a2（a≠0），与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），（x1＜x2）．
（1）求a的取值范围，并说明A、B两点都在y轴的右侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=3OC，求a的值．