试题

（2013·双峰县模拟）如图，抛物线y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂．0），其中x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，3），且x₁，x₂满足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥X轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点C（0，3），
∴当x=0时，c=3．
又∵x₁，x₂满足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，
代入得：2b-3-1=0，
得b=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²，+2x+3=-（x-1）²+4
∴顶点D的坐标是（1，4）；

（2）令y=0，得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
故点A的坐标是（1，0），B的坐标是（3，0）．
设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4），
∴

3k+n=0 k+n=4

，
解得：

k=-2 n=6

，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6．
∵P点在线段BD上，
∴设点P的坐标为（m，-2m+6）．
又∵PM⊥X轴于点M，
∴PM=-2m+6，OM=m．
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
设四边形PMAC的面积为S，则
S=

1

2

OA·OC+

1

2

（PM+OC）·OM=

1

2

×1×3+

1

2

（-2m+6+3）·m
=-m²+

9

2

m+

3

2

=-（m-

9

4

）²+

105

16

∵1＜

9

4

＜3，
∴当m=

9

4

时，四边形PMAC的面积最大，最大面积为

105

16

，此时，P点坐标（

9

4

，

3

2

）．
解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点C（0，3），
∴当x=0时，c=3．
又∵x₁，x₂满足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，
代入得：2b-3-1=0，
得b=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²，+2x+3=-（x-1）²+4
∴顶点D的坐标是（1，4）；

（2）令y=0，得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
故点A的坐标是（1，0），B的坐标是（3，0）．
设直线BD的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵直线y=kx+n过点B（3，0），D（1，4），
∴

3k+n=0 k+n=4

，
解得：

k=-2 n=6

，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6．
∵P点在线段BD上，
∴设点P的坐标为（m，-2m+6）．
又∵PM⊥X轴于点M，
∴PM=-2m+6，OM=m．
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
设四边形PMAC的面积为S，则
S=

1

2

OA·OC+

1

2

（PM+OC）·OM=

1

2

×1×3+

1

2

（-2m+6+3）·m
=-m²+

9

2

m+

3

2

=-（m-

9

4

）²+

105

16

∵1＜

9

4

＜3，
∴当m=

9

4

时，四边形PMAC的面积最大，最大面积为

105

16

，此时，P点坐标（

9

4

，

3

2

）．