已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线的顶点．AC、OD相交于点M．（1）求点D的坐标；（2）在x轴下方的平面内是否存在点N...-青果题库-青果学院

题目：

（2013·沙河口区一模）已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线的顶点．AC、OD相交于点M．
（1）求点D的坐标；
（2）在x 轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上求点P的坐标，使∠DOP=45°（直接写出结果）．

答案

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），
∴

36a-6b+c=0

4a+2b+c=0

c=3

，
解得

a=-

1

4

b=-1

c=3

，
∴抛物线解析式为y=-

1

4

x²-x+3，
∵y=-

1

4

（x+2）²+4，
∴顶点D的坐标为（-2，4）；

（2）设对称轴与x轴相交于点E，
∵A（-6，0）、B（2，0）、C（0，3）、D（-2，4），
∴OA=6，OC=3，OE=2，DE=4，
∵

OA

OC

=

DE

OE

=2，∠AOC=∠DEO=90°，
∴△AOC∽△DEO，
∴∠OAC=∠EDO，
又∵∠DOE=∠AOM，
∴∠AMO=∠DEO=90°，
在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

62+32

=3

5

，
∵cos∠OAC=

OA

AC

=

AM

OA

，
∴

6

3

5

=

AM

6

，
解得AM=

12

5

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

42+42

=4

2

，
在Rt△ADM中，DM=

AD2-AM2

=

(4

2

)2-(

12

5

)2

=

4

5

，
∵∠DAM+∠ADM=180°-90°=90°，
∠BDO+∠ADM=90°，
∴∠DAM=∠BDO，
∴点N在DO的延长线上，
∵△DBN≌△ADM，
∴BN=DM=

4

5

，

过点N作NF⊥x轴于F，
∵∠ODE+∠DOE=90°，∠OBN+∠BON=90°，
∴∠ODE=∠OBN，
在Rt△ODE中，OD=

DE2+OE2

=

42+22

=2

5

，
∴NF=BN·sin∠OBN=

4

5

×

2

5

=

4

5

，
BF=BN·cos∠OBN=

4

5

×

4

2

5

=

8

5

，
∴OF=OB-BF=2-

8

5

=

2

5

，
∴点N的坐标为（

2

5

，-

4

5

）；

（3）∵DE=4，BE=2-（-2）=4，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠DOE=∠BDO+∠ABD，
∠DOE=∠DOP+∠EOP，
∠ABD=∠DOP=45°，
∴∠EOP=∠BDO，
∴PE=OE·tan∠EOP=2×

4

5

12

5

=

2

3

，
∴点P的坐标为（-2，

2

3

）．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），
∴