试题

（2013·通州区一模）我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．
（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；
（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；
（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标．

解：（1）由题意得：A（-1，0），B（3，0），D（0，-3），M（1，0）．
∴AM=BM=CM=2，
∴OC=

CM2-OM2

=

3

，
∴C(0，

3

)
∵GC是⊙M的切线，
∴∠GCM=90°
∴cos∠OMC=

OM

MC

=

MC

MG

，
∴

1

2

=

2

MG

，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直线GC的表达式为y=

3

3

x+

3

；

（2）设过点D的直线表达式为y=kx-3，
∴

y=kx-3 y=x2-2x-3

∴x²-（2+k）x=0，或x₁=0，x₂=2+k△=[-（2+k）]²=0，或x₁=x₂，
∴k=-2，
∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=-2x-3．

（3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，-n）．
EF与x轴交于点H，连接EM．
∴HM²+EH²=EM²，
∴（m-1）²+n²=4，…①；
∵点F在二次函数y=x²-2x-3的图象上，
∴m²-2m-3=-n，…②
解由①②组成的方程组得：

m=1+ 3 n=1

；

m=1- 3 n=1

．（n=0舍去）
由对称性可得：

m=1+ 3 n=-1

；

m=1- 3 n=-1

．
∴E1(1+

3

，1)，E2(1-

3

，1)，E3(1+

3

，-1)，E4(1-

3

，-1)．
解：（1）由题意得：A（-1，0），B（3，0），D（0，-3），M（1，0）．
∴AM=BM=CM=2，
∴OC=

CM2-OM2

=

3

，
∴C(0，

3

)
∵GC是⊙M的切线，
∴∠GCM=90°
∴cos∠OMC=

OM

MC

=

MC

MG

，
∴

1

2

=

2

MG

，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直线GC的表达式为y=

3

3

x+

3

；

（2）设过点D的直线表达式为y=kx-3，
∴

y=kx-3 y=x2-2x-3

∴x²-（2+k）x=0，或x₁=0，x₂=2+k△=[-（2+k）]²=0，或x₁=x₂，
∴k=-2，
∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=-2x-3．

（3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，-n）．
EF与x轴交于点H，连接EM．
∴HM²+EH²=EM²，
∴（m-1）²+n²=4，…①；
∵点F在二次函数y=x²-2x-3的图象上，
∴m²-2m-3=-n，…②
解由①②组成的方程组得：

m=1+ 3 n=1

；

m=1- 3 n=1

．（n=0舍去）
由对称性可得：

m=1+ 3 n=-1

；

m=1- 3 n=-1

．
∴E1(1+

3

，1)，E2(1-

3

，1)，E3(1+

3

，-1)，E4(1-

3

，-1)．