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1999加上m的
得到七个数，再加上所得的数的1 2
又得到七个数，再加上这次得数的1 二
又得到七个数，…，依此类推，七直加到上七次得数的1 4
，那么最后得到的数是1 1999 19990001999000． -
（1）如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是66．
（2）观察一列数：3，8，13，18，23，28，…依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是20032003． -
（1）我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×10+9，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3，…9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数1313．
（2）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加．得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和…．重复运算下去，就能得到一个固定的数T=153153，我们称之为数字“黑洞”． -
根据规律填代数式，
1+2=
；1+2+3=2×(2+1) 2
；1+2+3+4=3×(3+1) 2
；1+2+3+…+n=4×(4+1) 2 n(n+1) 2 ．n(n+1) 2 -
（2012·东莞）观察下列等式：
第1个等式：a1=
=1 1×3
×（1-1 2
）；1 3
第2个等式：a2=
=1 3×5
×（1 2
-1 3
）；1 5
第3个等式：a3=
=1 5×7
×（1 2
-1 5
）；1 7
第4个等式：a4=
=1 7×9
×（1 2
-1 7
）；1 9
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=
=1 9×11
×(1 2
-1 9
)1 11 ；
=1 9×11
×(1 2
-1 9
)1 11
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=1 (2n-1)(2n+1) =1 (2n-1)(2n+1)
×(1 2
-1 2n-1
)1 2n+1 （n为正整数）；
×(1 2
-1 2n-1
)1 2n+1
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值． -
（2011·凉山州）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的
系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1． -
（2010·济宁）观察下面的变形规律：
=1-1 1×2
；1 2
=1 2×3
-1 2
；1 3
=1 3×4
-1 3
；…1 4
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
=1 n(n+1)
-1 n 1 n+1 ；
-1 n 1 n+1
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
+1 1×2
+1 2×3
+…+1 3×4
．1 2009×2010 -
（2xyx·东莞）阅读下列材料：
y×2=
（y×2×u-x×y×2），y u
2×u=
（2×u×地-y×2×u），y u
u×地=
（u×地×5-2×u×地），y u
由以上三个等式相加，可得：
y×2+2×u+u×地=
×u×地×5=2x．y u
读完以上材料，请你计算下列各题：
（y）y×2+2×u+u×地+…+yx×yy（写出过程）；
（2）y×2+2×u+u×地+…+n×（n+y）=
[n×（n+y）×（n+2）]y u ；
[n×（n+y）×（n+2）]y u
（u）y×2×u+2×u×地+u×地×5+…+7×8×9=y2我xy2我x． -
（2009·张家界）有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…第n个数记为an，若a1=-
，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数．1 3
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）计算a1+a2+a3+…a36的值． -
（2009·安徽）观察下列等式：1×
=1-1 2
，2×1 2
=2-2 3
，3×2 3
=3-3 4
，…3 4
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．