试题
题目：
（2009·安徽）观察下列等式：1×
1
2
=1-
1
2
，2×
2
3
=2-
2
3
，3×
3
4
=3-
3
4
，…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．
答案
解：（1）猜想：n×
n
n+1
=n-
n
n+1
；
（2）证：右边=
n
2
+n-n
n+1
=
n
2
n+1
=左边，即n×
n
n+1
=n-
n
n+1
．
解：（1）猜想：n×
n
n+1
=n-
n
n+1
；
（2）证：右边=
n
2
+n-n
n+1
=
n
2
n+1
=左边，即n×
n
n+1
=n-
n
n+1
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
规律型：数字的变化类．
（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式-第二个因数，即n×
n
n+1
=n-
n
n+1
；
（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．
主要考查：等式找规律，难点是怎样证明，不是验证．此题隐含着逆向思维及数学归纳法的思想．
证明题；探究型．
找相似题
观察下面的几个算式：
13×17=221可写成100×1×（1+1）+21；
23×27=621可写成100×2×（2+1）+21；
33×37=1221可写成100×3×（3+1）+21；
43×47=2021可写成100×4×（4+1）+21；
…
根据上面规律填空：
（1）83×87可写成
100×8×（8+1）+21
100×8×（8+1）+21
．
（2）（10n+3）（10n+7）可写成
100n（n+1）+21
100n（n+1）+21
．
（3）计算：1993×1997=
3980021
3980021
．
张老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
数据
1
2
3
4
…
输出
数据
1
2
1
4
1
8
1
16
…
那么，当输入数据是6时，输出的数据是
1
64
1
64
．
一组按规律排列的数：
9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
，…请推断第n个数是
(n+2
)
2
n
2
+4n
(n+2
)
2
n
2
+4n
．
观察下列各式：①4=2
2
；②4+12=4
2
；③4+12+20=6
2
；④4+12+20+28=8
2
；…则第n个等式为
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
4+12+20+28+36+…+（2n-1）×4=（2n）
2
．
观察下列：1×3=3而3=2
2
-1，3×5=15而15=4
2
-1，5×7=35而35=6
2
-1，…，11×13=143而143=12
2
-1．你猜想到的规律用只含一个字母n的式子表示出来是
n（n+2）=（n+1）
2
-1
n（n+2）=（n+1）
2
-1
．