试题

（2011·凉山州）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）ⁿ（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）⁵的展开式．
（2）利用上面的规律计算：2⁵-5×2⁴+10×2³-10×2²+5×2-1．

解：（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵（3分）

（2）原式=2⁵+5×2⁴×（-1）+10×2³×（-1）²+10×2²×（-1）³+5×2×（-1）⁴+（-1）⁵（5分）
=（2-1）⁵
=1（6分）
注：不用以上规律计算不给分．
解：（1）（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵（3分）

（2）原式=2⁵+5×2⁴×（-1）+10×2³×（-1）²+10×2²×（-1）³+5×2×（-1）⁴+（-1）⁵（5分）
=（2-1）⁵
=1（6分）
注：不用以上规律计算不给分．