数学

如图，⊙O中，两条弦AB、CD相交于P点，若PA=4，PB=3，PC=6，则CD的长为

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如图，在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆

上的两个动点．弦AC与BD交于点E，则AE·AC+BE·BD=

正△ABC内接于⊙O，M、N分别是AB、AC的中点，延长MN交⊙O于点D，连接BD交AC于P，则

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如图，⊙O的半径为5，P是弦MN上的一点，且MP：PN=1：2．若PA=2，则MN的长为

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如图，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽

；若AC=12，AE=8，则AD=

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如图，半径为r₁的圆内切于半径为r₂的圆，切点为P，过圆心O₁的直线与⊙O₂交于A、B，与⊙O₁交于C、D，已知AC：CD：DB=3：4：2，则

（1998·温州）如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，设DE=

(a＞0)，EM=x．
（1）用含x和a的代数式表示MC的长，并求证：x2-

·x+12=0．
（2）当a=15，且EM＞MC时，求sin∠EOM的值；
（3）根据图形写出EM的长的取值范围．试问：在弧DB上是否存在一点E，使EM的长是关于x的方

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·x+12=0的相等实数根？如果存在，求出sin∠EOM的值；如果不存在，请说明理由．

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如图A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC=DC=4，AE=6，线段BE、DE的长为正整数，求BD的长．

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已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG²=GC·GD．

（2009·东城区一模）请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题．

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已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作-弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：

的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：

的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：

的值，并给出证明．

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