试题

（2009·东城区一模）请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题．

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作-弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：

1

PQ

+

1

PR

的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：

1

PQ

+

1

PR

的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：

1

PQ

+

1

PR

的值，并给出证明．

解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
∴Q与A重合，R与C重合．
∵OP=1，AC=4，
∴

1

PQ

+

1

PR

=1+

1

3

=

4

3

．

（2）连接OA，
∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，
∴∠OAP=30°．
∴AP=

3

．
∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
∴AP=

3

．
∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
在Rt△AQP中，PQ=

3

2

，同理，PR=

3

2

，
∴

1

PQ

+

1

PR

=

2

3

+

2

3

=

4

3

．

（3）猜想

1

PQ

+

1

PR

=

4

3

．
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
∴∠EAC=∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴

AC

PQ

=

AE

AP

①
同理可得：

AC

PR

=

AE

PC

②
①+②，得：

AC

PQ

+

AC

PR

=

AE

AP

+

AE

PC

∴

1

PQ

+

1

PR

=

AE

AC

（

1

AP

+

1

PC

）
=

AE

AC

·

PC+AP

AP·PC

=

AE

AP·PC

．
过P作直径交⊙O于M，N，
根据阅读材料可知：AP·PC=PM·PN=3，
∴

1

PQ

+

1

PR

=

4

3

．
解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
∴Q与A重合，R与C重合．
∵OP=1，AC=4，
∴

1

PQ

+

1

PR

=1+

1

3

=

4

3

．

（2）连接OA，
∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，
∴∠OAP=30°．
∴AP=

3

．
∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
∴AP=

3

．
∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．
在Rt△AQP中，PQ=

3

2

，同理，PR=

3

2

，
∴

1

PQ

+

1

PR

=

2

3

+

2

3

=

4

3

．

（3）猜想

1

PQ

+

1

PR

=

4

3

．
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
∴∠EAC=∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴

AC

PQ

=

AE

AP

①
同理可得：

AC

PR

=

AE

PC

②
①+②，得：

AC

PQ

+

AC

PR

=

AE

AP

+

AE

PC

∴

1

PQ

+

1

PR

=

AE

AC

（

1

AP

+

1

PC

）
=

AE

AC

·

PC+AP

AP·PC

=

AE

AP·PC

．
过P作直径交⊙O于M，N，
根据阅读材料可知：AP·PC=PM·PN=3，
∴

1

PQ

+

1

PR

=

4

3

．