试题

题目：
正△ABC内接于⊙O，M、N分别是AB、AC的中点，延长MN交⊙O于点D，连接BD交AC于P，则
PC
PA
=
5
-1
2
5
-1
2
．
答案
5
-1
2

青果学院解：如图所示，延长NM交⊙O于E，设正三角形边长为a，ND=x，
由相交弦定理，得ND·NE=AN·NC，
即x(
a
2
+x)=
a
2
·
a
2
，
x2+
a
2
x-
a2
4
=0
∴x=
a
4
(
5
-1)·
x
a
=
5
-1
4
，
又△PDN∽△PBC，∴
PN
PC
=
ND
BC
=
x
a
=
5
-1
4
，
∴
2PN
PC
=
5
-1
2
·
2PN+PC
PC
=
5
+1
2
，
∵2·PN+PC=PN+（PN+PC）=PN+NC=PN+NA=PA，
∴
PC
PA
=
5
-1
2
．
故答案为：
5
-1
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；相交弦定理．
可延长NM交⊙O于E，设正三角形边长为a，ND=x，由相交弦定理，得ND·NE=AN·NC，代入得出x与a的比值，再由△PDN∽△PBC，得出其对应边成比例，进而通过线段之间的转化，即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及相交弦定理的运用，能够利用其性质建立线段之间的联系，进而解题．
计算题．
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