试题

题目：
青果学院已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC·GD．
答案
青果学院证明：延长GP至F，使PF=PG，连接AD，BF，CF，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GP，BP=PC，
∵PF=PG，
∴四边形GBFC是平行四边形，
∴GF=2GP，
∴AG=GF，
∵BG∥CF，
∴∠1=∠2
∵过A、G的圆与BG切于G，
∴∠3=∠D，
又∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠D，
∴A、D、F、C四点共圆，
∴GA、GF=GC·GD，
即GA2=GC·GD．
青果学院证明：延长GP至F，使PF=PG，连接AD，BF，CF，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GP，BP=PC，
∵PF=PG，
∴四边形GBFC是平行四边形，
∴GF=2GP，
∴AG=GF，
∵BG∥CF，
∴∠1=∠2
∵过A、G的圆与BG切于G，
∴∠3=∠D，
又∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠D，
∴A、D、F、C四点共圆，
∴GA、GF=GC·GD，
即GA2=GC·GD．
考点梳理
相交弦定理；三角形的重心；圆内接四边形的性质．
构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC·GD．于是GA2=GC·GD．
本题综合考查了圆中重要定理，结合图形，熟记并灵活应用定理是正确解题的基础，而通过倍长中线，构造平行四边形是解题的关键．
证明题．
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