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（2010·江门一模）如图，P、Q分别是正方形ABCD的边AB、AD上一点，AP=AQ．
（1）作Q关于直线BD的对称点R（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接DP、BR，证明BRDP是平行四边形． -
（2010·建邺区一模）如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC． -
（2010·海沧区质检）如图，正方形ABCD的边长为2
，E是边AD上的一个动点（不与A重合），BE交对角线于F，连接2
DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）设AF=x，△ABF面积为y，求y与x的函数关系式，并画出图象． -
（2010·鼓楼区二模）阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是
；1 5
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）取n=3，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为2 5 （直接写出结果）；2 5
（2）在图4中探究，n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为9 17 （在图4上画图并直接写出结果）；9 17
（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为(n-1)2 n2+1 （用含n的代数式表示）；(n-1)2 n2+1
（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
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（2010·鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）已知点A（3，1），连接OA，作如下探究：
探究一：平移线段OA，使点O落在点B．设点A落在点C，若点B的坐标为（1，2），请在图1中作出BC，点C的坐标是（4，3）（4，3）；
探究二：将线段OA绕点O逆时针旋转90度，设点A落在点D．则点D的坐标是（-1，3）（-1，3）；
（2）已知四点O（0，0），A （a，b），C，B（c，d），顺次连接O，A，C，B．
①若所得到的四边形为平行四边形，则点C的坐标是（a+c，b+d）（a+c，b+d）；
②若所得到的四边形是正方形，请直接写出a，b，c，d应满足的关系式． -
（2010·藁城市一模）如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（8，0），C（0，6），点M是OA的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以P
Q为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．
（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）分别求当t=1，t=5时，线段PQ的长；
（3）求S与t之间的函数关系式；
（4）连接AC．当正方形PRLQ与△ABC的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围． -
（2010·禅城区模拟）下面我们来定义一个数学概念．平面区域的平分线：一条曲线围成的平面区域．连接边界两点的一条曲线，如果把平面区域分成面积相等的两部分，则称其为区域的平分线．（注意：直线段、折线都视为曲线．）
我们可以求得边长为1的等边△ABC三条平分线：等边三角形的高、平行于边的线段和圆心在顶点的
圆周，它们的长度分别为1 6
、3 2
和2 2
．如图．π 4 3 
请解答下面的问题：给定一个边长为1的正方形ABCD，如图．
（1）指出与例子类似的三条平分线；
（2）求出你指出的三条平分线的长度；
（3）比较这三条平分线长度的大小． -
（2009·无锡一模）如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CB为半径作
，E为BC
BD 
的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x2-2（
+1）x+43
=0的两根，其中CD＜CE．连接DE交⊙O于点F．3
（1）求DF的长；
（2）求图中阴影部分的面积S． -
（2009·井研县一模）如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点．F是BD上的一个动点（F与B、D不重合）
（1）求证：△AFB≌△CFB；
（2）设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明点F此时的位置． -
（2009·津南区二模）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．
（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．
（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=
，求BE2+DG2的值．1 2