试题

（2010·建邺区一模）如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．

（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．（1分）
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．（2分）
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．（3分）

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．（5分）
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．（6分）
∴∠BAP=2∠PAC．（7分）
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．（1分）
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．（2分）
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．（3分）

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．（5分）
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．（6分）
∴∠BAP=2∠PAC．（7分）