试题

（2009·无锡一模）如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CB为半径作

BD

，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的两根，其中CD＜CE．连接DE交⊙O于点F．
（1）求DF的长；
（2）求图中阴影部分的面积S．

解：（1）连接CF，
∵CD、CE的长为方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的两根；
∴CE=2

3

，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=

CE

CD

=

3

；
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°；
∴DF=

1

2

DC=

1

2

×2=1．

（2）连接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等边三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=

3

4

×1=

3

4

，S_扇形FOC=

120π×12

360

=

π

3

，
S_阴影FEC=S_△ECD-S_△DOF-S_扇形FOC=

1

2

×2×2

3

-

3

4

-

π

3

=

7 3

4

-

π

3

，
S_阴影DBC=S_扇形BCD-S_半圆O=

90π×22

360

-

1

2

π×1=

1

2

π，
∴S_阴影=S_阴影FCE+S_阴影DBC=

7 3

4

-

π

3

+

1

2

π，
=

7 3

4

+

π

6

．
解：（1）连接CF，
∵CD、CE的长为方程x²-2（

3

+1）x+4

3

=0的两根；
∴CE=2

3

，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=

CE

CD

=

3

；
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°；
∴DF=

1

2

DC=

1

2

×2=1．

（2）连接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等边三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=

3

4

×1=

3

4

，S_扇形FOC=

120π×12

360

=

π

3

，
S_阴影FEC=S_△ECD-S_△DOF-S_扇形FOC=

1

2

×2×2

3

-

3

4

-

π

3

=

7 3

4

-

π

3

，
S_阴影DBC=S_扇形BCD-S_半圆O=

90π×22

360

-

1

2

π×1=

1

2

π，
∴S_阴影=S_阴影FCE+S_阴影DBC=

7 3

4

-

π

3

+

1

2

π，
=

7 3

4

+

π

6

．