试题

（2010·禅城区模拟）下面我们来定义一个数学概念．平面区域的平分线：一条曲线围成的平面区域．连接边界两点的一条曲线，如果把平面区域分成面积相等的两部分，则称其为区域的平分线．（注意：直线段、折线都视为曲线．）
我们可以求得边长为1的等边△ABC三条平分线：等边三角形的高、平行于边的线段和圆心在顶点的

1

6

圆周，它们的长度分别为

3

2

、

2

2

和

π 4 3

．如图．

请解答下面的问题：给定一个边长为1的正方形ABCD，如图．
（1）指出与例子类似的三条平分线；
（2）求出你指出的三条平分线的长度；
（3）比较这三条平分线长度的大小．

解：（1）正方形的对角线，过中心且平行于边的线段，以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆弧．（3分）
（2）前两条平分线的长分别是

2

和1．（5分）
下面求第三条平分线的长度：
设圆的半径为x，则

1

4

πx2=

1

2

，得x=

2 π

，所以四分之一圆弧长为

π 2

．（8分）
（3）因为4＞π，所以

2

＞

π 2

＞1
所以，正方形的对角线长＞以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆弧长＞过中心且平行于边的线段长．（11分）
解：（1）正方形的对角线，过中心且平行于边的线段，以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆弧．（3分）
（2）前两条平分线的长分别是

2

和1．（5分）
下面求第三条平分线的长度：
设圆的半径为x，则

1

4

πx2=

1

2

，得x=

2 π

，所以四分之一圆弧长为

π 2

．（8分）
（3）因为4＞π，所以

2

＞

π 2

＞1
所以，正方形的对角线长＞以正方形一个顶点为圆心的四分之一圆弧长＞过中心且平行于边的线段长．（11分）