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观察下列各式：13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，13+23+33+43=（1+2+3+4）2…
（1）用含自然数n的等式表示上述各式的规律；
（2）利用你的结论计算：203+213+223+…+303． -
在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，…，200称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”．
（1）请把旧数60按照上述规则变换为新数；
（2）是否存在这样的旧数，经过上述规则变换后，新数比旧数大75、如果存在，请求出这个旧数；如果不存在，请说明理由． -
已知1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，那么4×5×6×7+1=（2929）2，…，n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1=[（n+1）（n+2）-1]2[（n+1）（n+2）-1]2，若2004×2005×2006×2007+1=（2005×2006+a）2，那么a=-1-1．
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我们把从1开始的几个连接自然数的立方和记作Sn，那么有：S1=13=12=[
]2S2=13+23=(1+2)2=[1×(1+1) 2
]2S3=13+23+33=(1+2+3)2=[2×(1+2) 2
]232×(1+3) 2
观察上面的规律，完成下面各问题：
（1）参照写出S4．
（2）Sn如何表示．
（3）求出：13+23+33+…+103的值． -
（1）观察：1=12，1+3=22，1+3+5=32 …
可得1+3+5+…+（2n-1）=n2n2．
如果1+3+5+…+x=361，则奇数x的值为3737．
（2）观察式子：1+3=
； 1+3+5=(1+3)×2 2
；1+3+5+7=(1+5)×3 2
…(1+7)×3 2
按此规律计算1+3+5+7+…+2009=1010002510100025． -
探索题：
观察下列各式
1×3+1=22；
3×5+1=42；
2×4+1=32；
4×6+1=52；
…
请找出规律，并用含有一个字母的式子表示出来． -
探索规律
观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=100100；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n2n2；
（3）请用上述规律计算：
103+105+107+…+203+205． -
观察下面三行数：
2，-4，8，-16，…①
-1，2，-4，8，…②
3，-3，9，-15，…③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和？ -
数独（sūdoku）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本发扬光大的数学智力拼图游戏．拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格．在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复．下面是一个数独游戏，请完成该游戏．（您只需要完整地填出其中的5个小九宫格即可）
（评分标准：完整地填出其中的5个小九宫格且5个均正确即可给满分．未填出5个不给分．若填出超过5个且无错给满分，若填出超过5个且有任何一处错误不给分．）
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对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿上，52的“分裂”中最大的数是99，若m3的“分裂”中最小数是21，则m=55．