数学
已知方程x
2
+3x-5=0的两根为x
1
，x
2
，不解方程求
x
1
2
x
2
+
x
1
x
2
2
的值．
已知一个直角三角形的两直角边的长恰好是方程2x
2
-8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长．
关于的一元二次方程x
2
+2kx+k
2
-1=0的实数解是x
1
和x
2
，且满足x
2
1
-x
2
2
=0，求k的值．
先阅读，再解答：
方程x
2
-3x-4=0的根是：x
1
=-1，则，x
1
x
2
=-4；
方程3x
2
+10x+8=0的根是：x
1
=-2，
x
2
=-
4
3
，则
x
1
+
x
2
=-
10
3
，
x
1
x
2
=
8
3
．
（1）若x
1
，x
2
是方程ax
2
+bx+c=0的根，则x
1
+x
2
=
-
b
a
-
b
a
，x
1
x
2
=
c
a
c
a
；（用a、b、c表示）
（2）如果x
1
，x
2
是方程x
2
+x-3=0的两个根，根据（1）所得结论，求
x
2
1
+
x
2
2
的值．
已知一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x
1
、x
2
，则有x
1
+x
2
=
-
b
a
；x
1
x
2
=
c
a
．请应用以上结论解答下列问题：
已知方程x
2
-x-2=0有两个实数根x
1
，x
2
，要求不解方程
求值：（1）（x
1
+1）（x
2
+1）（2）
x
2
x
1
+
x
1
x
2
（3）
x
1
x
2
2
+
x
2
x
1
2
．
已知关于x的一元二次方程x
2
+（m+2）x+2m-1=0（m为常数）．
（1）若方程有两个实数根为x
1
，x
2
，且x
1
+x
2
+x
1
·x
2
=-1，求m的值．
（2）若m为任意实数，求判别式△=b
2
-4ac的值并由此判断方程根的情况．
已知等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c的长恰好是方程x
2
-（2k+2）x+4k=0的两个根．求△ABC的周长．
在一次数学考试的试卷上有一道试题是：“已知α、β是方程x
2
+5x+2=0的两根，求
α
β
+
β
α
的值．”下面是小王同学的解法，请认真阅读小王的解法后，解答问题．
解：
α
β
+
β
α
=
αβ
β
2
+
αβ
α
2
…①=
αβ
β
+
αβ
α
…②=
(
1
β
+
1
α
)
αβ
…③=
α+β
αβ
αβ
…④
又∵α、β是方程x
2
+5x+2=0的两根，∴α+β=-5，αβ=2…⑤
∴原式=
-5
2
2
…⑥
小王同学的解法正确吗？若不正确，请指出他错在第几步？并给出正确的解题过程．
已知：α、β是关于x的二次方程：（m-2）x
2
+2（m-4）x+m-4=0的两个不等实根．
（1）若m为符合条件的最小正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
（2）若α
2
+β
2
=6时，求m的值．
完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？
方程
x
1
x
2
x
1
+x
2
x
1
x
2
x
2
-2x=0
0
2
2
2
0
0
x
2
+3x-4=0
-4
1
-3
-3
-4
-4
x
2
-5x+6=0
2
3
5
5
6
6
（1）请用文字语言概括你的发现．
若二次项系数为1，常用以下关系：x
1
，x
2
是方程x
2
+px+q=0的两根时，x
1
+x
2
=-p，x
1
x
2
=q
若二次项系数为1，常用以下关系：x
1
，x
2
是方程x
2
+px+q=0的两根时，x
1
+x
2
=-p，x
1
x
2
=q
（2）一般的，对于关于x的方程x
2
+px+q=0（p、q为常数，p
2
-4q≥0）的两根为x
1
，x
2
，则x
1
+x
2
=
-p
-p
，x
1
x
2
=
q
q
（3）运用以上发现解决下列问题：已知x
1
，x
2
是方程x
2
-x-3=0的两根，求代数式（1+x
1
）（1+x
2
）的值．
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