试题
题目：
在一次数学考试的试卷上有一道试题是：“已知α、β是方程x
2
+5x+2=0的两根，求
α
β
+
β
α
的值．”下面是小王同学的解法，请认真阅读小王的解法后，解答问题．
解：
α
β
+
β
α
=
αβ
β
2
+
αβ
α
2
…①=
αβ
β
+
αβ
α
…②=
(
1
β
+
1
α
)
αβ
…③=
α+β
αβ
αβ
…④
又∵α、β是方程x
2
+5x+2=0的两根，∴α+β=-5，αβ=2…⑤
∴原式=
-5
2
2
…⑥
小王同学的解法正确吗？若不正确，请指出他错在第几步？并给出正确的解题过程．
答案
解：小王同学的解法不正确，错在第②步上．
∵△=5
2
-8=17＞0，
∴α≠β，
由韦达定理得α+β=-5，αβ=2，
这说明α，β同为负数，
∴
α
β
+
β
α
=
αβ
β
2
+
αβ
α
2
=
-
1
β
αβ
-
1
α
αβ
=-（
α+β
αβ
）
αβ
=
5
2
2
．
解：小王同学的解法不正确，错在第②步上．
∵△=5
2
-8=17＞0，
∴α≠β，
由韦达定理得α+β=-5，αβ=2，
这说明α，β同为负数，
∴
α
β
+
β
α
=
αβ
β
2
+
αβ
α
2
=
-
1
β
αβ
-
1
α
αβ
=-（
α+β
αβ
）
αβ
=
5
2
2
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根与系数的关系；二次根式的性质与化简．
方程x
2
+5x+2=0的两根为α、β，根据韦达定理，α+β=-5，αβ=2，再把
α
β
+
β
α
化简后即可求值．
本题考查了根与系数的关系及二次根式的化简求值，难度一般，关键是根据韦达定理求出α+β=-3，αβ=2，判断出α，β同为负数，再化简所求二次根式．
计算题．
找相似题
已知关于x的方程x
2
-2x+m=0的一个根是-1，求它的另一个根和m的值．
先阅读，再填空解题：
（1）方程：x
2
+x-2=0的根是：x
1
=
2
2
，x
2
=
1
1
，则x
1
+x
2
=
3
3
，x
1
x
2
=
2
2
（2）方程2x
2
-7x+3=0的根是：x
1
=
3
3
，x
2
=
1
2
1
2
，则x
1
+x
2
=
7
2
7
2
，x
1
x
2
=
3
2
3
2
（3）方程x
2
-4x-5=0的根是：x
1
=
5
5
，x
2
=
-1
-1
，则x
1
+x
2
=
4
4
，x
1
x
2
=
-5
-5
（4）如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1
，x
2
，根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：x
1
+x
2
，x
1
x
2
与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
已知关于2x
2
+kx-1=0．
（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．
（2）若已知该方程的一个根是-1，请求出另一个根．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2（n+1）x+n
2
-
7
2
=0．
（1）当n为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x
1
，x
2
是方程的两个不相等的实数根且x
1
2
+x
2
2
=5，求n的值．
已知关于x的一元二次方程x
2
+2x-m=0
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；
（2）设x
1
，x
2
是（1）中所得方程的两个根，求x
1
x
2
+x
1
+x
2
的值．