数学

埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用

，等等．现在有90个埃及分数：

，你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于-1吗？

观察数列1，2，4，8，16，…，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，通常把这样的数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5，-15，45，…的第4项是

．
（2）如果一列数a₁，a₂，a₃，a₄，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述规定，有

=q，…，所以，a₂=a₁q，a3=a2q=(a1q)q=a1q2，a4=a3q=(a1q2)q=a1q3，…，则a_n=

．（用a₁与q的代数式表示）
（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．

观察下列数的排列规律：

青果学院

（1）小李在做题时，画了一条数轴，在数轴上原有一点A，其表示的数是-3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在-3的相反数的位置，想一想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？
（2）如图是具有互为相反数的三角形数阵．当最下面一行的两个数为多少时，这两个数以及它们上面的数的个数为2013．

将4×4方格纸的每一格中放一个数，使得每一行，每一列，每一对角线的四个数之和都等于1998，求这张4×4方格纸上的四角所放的四个数之和是多少？

现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．

青果学院

（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数

，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和

．（用n的代数式表示）
（2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
（3）计算出该长方形队列中，共可框出多少个这样不同的正方形框？

若干个1和2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，…，其规则是：第一个数是1，第二个数是2，第三个数是1．一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2（k=1，2，3，…）．试问：（1）第2007个数是1还是2？（2）前2007个数的和是多少？

有两付扑克牌，每付牌的排列循序均按头两张是大王，小王，然后是黑桃，红桃，方块梅花四种花色排列，每种花色的牌又按1，2，3，…，J，Q，K顺序排列．某人把按上述排列的两付扑克牌上下叠放在一起，然后把第一张牌丢掉，把第二张牌放在最底层，再第三张牌丢掉，把第四张牌放在最底层，…，如此进行下去，直到最后只剩下一张牌，试问所剩一张牌是哪一张？

观察下列等式：
1=1
1-4=-（1+2）=-3
1-4+9=1+2+3=x
1-4+9-1x=-（1+2+3+4）=-18
那么这第x个式子为

第28个式子的值为

这些等式反映出整数间的某种规律，设n表示正整数，试用关于n的等式表示出你所发现的规律

1-4+9-1x+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹

1-4+9-1x+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=（-1）ⁿ⁺¹

怎样的两个数，它们的和等于它们的积呢？你大概马上会想到2+2=2×2，其实这样的两个数还有好多，例如，3+

．
（1）你还能写出一些这样的两个数吗？
（2）你能从中发现什么规律吗？把它用含字母n的式子表示出来．

90