数学
(2013·盐都区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB边的中点O为圆心,线段OA的长为半径作圆,分别交BC、AC边于点D、E,DF⊥AC于点F,延长FD交AB延长线于点G.
(1)求证:FD是⊙O的切线.
(2)若BC=AD=4,求tan∠GDB的值.
(2013·玄武区一模)小明设计了一个“简易量角器”:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,CA=30cm,在AB边上有一系列点P
1
,P
2
,P
3
…P
8
,使得∠P
1
CA=10°,∠P
2
CA=20°,∠P
3
CA=30°,…∠P
8
CA=80°.
(1)求P
3
A的长(结果保留根号);
(2)求P
5
A的长(结果精确到1cm,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20,
3
≈1.7);
(3)小明发现P
1
,P
2
,P
3
…P
8
这些点中,相邻两点距离都不相同,于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”,结果会怎样呢?请你帮他继续探究.
(2013·厦门质检)如图,已知四边形ABCD是正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PD.
(1)若∠PAB=37°,正方形的边长为5,求PA的长度;
(sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(2)若PA=PD,过点P作PE⊥AD,垂足为E,判断直线PE与半圆的位置关系并说明理由.
(2013·厦门质检)四边形ABCD中,对角线AC、BD的交点为O,
(1)如图1,若AD∥BC,AD=6,BC=4,求
AO
CO
的值;
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,过点B作BE⊥AC,垂足为E,当∠ACB=30°时,有
AC=
3
BE+1
,求BC的长度.
(2013·西城区一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=α,点P在△ABC的内部.
(1)如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在AB、BC边上,则cosα=
3
2
3
2
,△PMN周长的最小值为
3
3
;
(2)如图2,若条件AB=2AC不变,而PA=
2
,PB=
10
,PC=1,求△ABC的面积;
(3)若PA=m,PB=n,PC=k,且k=mcosα=nsinα,直接写出∠APB的度数.
(2013·天桥区一模)完成下列各题:
(1)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD. 求证:BC=AD.
(2)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=
2
3
,求AB的长.
(2013·顺义区一模)已知:如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,BD⊥DC,∠ABD=45°,∠ACD=30°,AD=CD=2
3
,求AC和BD的长.
(2009·大连)如图,在⊙O中,AB是直径,AD是弦,∠ADE=60°,∠C=30度.
(1)判断直线CD是否是⊙O的切线,并说明理由;
(2)若CD=
3
3
,求BC的长.
(2008·淄博)如图,AB是⊙O的直径,∠BAC的平分线AQ交BC于点P,交⊙O于点Q.已知AC=6,∠AQC=30度.
(1)求AB的长;
(2)求点P到AB的距离;
(3)求PQ的长.
(2008·株洲)如图所示,⊙O的直径AB=4,点P是AB延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点
为C,连接AC.
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA的平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP的大小.
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