试题

（2013·西城区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点P在△ABC的内部．
（1）如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cosα=，△PMN周长的最小值为；
（2）如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=

2

，PB=

10

，PC=1，求△ABC的面积；
（3）若PA=m，PB=n，PC=k，且k=mcosα=nsinα，直接写出∠APB的度数．

解：（1）∵AB=2AC，PB=3，∠ACB=90°，∠ABC=α，
∴sinα=

1

2

，
∴α=30°，
∴cosα=

3

2

，
如图1，作P点关于AB以及BC的对称点P′，P″，
∴BP=BP″=BP′，△PMN的周长最小值等于P′P″的长，
∵∠ABC=30°，
∴∠P′BP″=60°，
∴△BP′P″是等边三角形，
∴BP′=BP″=3，
∴△PMN周长的最小值为：3；       
故答案为：

3

2

，3；

（2）如图2，分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，
则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．
∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF．
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°．
∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线．
∴DE=BD=BP=

10

，EF=CE+CF=2CP=2．
∵△ADF中，AD=AF=

2

，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°．
∴DF=

3

AD=

6

．
∴EF²+DF²=10=DE²．
∴∠DFE=90°．
∵S_{多边形BDAFE}=2S_△ABC=S_△DBE+S_△DFE+S_△DAF，
∴2S△ABC=

3

4

×(

10

)2+

1

2

×

6

×2+

1

2

×

6

×

2

2

=3

3

+

6

．
∴S△ABC=

3 3 + 6

2

．

（3）∠APB=150°．
理由：如图2，作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，
由（2）知∠DBE=2α，∠DAF=180°-2α．
∵BD=BE=n，AD=AF=m，
∴∠DBM=α，∠DAN=90°-α．
∴∠1=90°-α，∠3=α．
∴DM=nsinα，DN=mcosα．
∴DE=DF=EF．
∴∠2=60°．
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°．