试题

题目：
（2013·天桥区一模）完成下列各题：
（1）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：BC=AD．
（2）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2
3
，求AB的长．
青果学院
答案
青果学院证明：（1）如图（1），∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=AB
AC=BD
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD；

（2）如图（2），过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2
3
，
∴CD=
3
，
∴BD=CD=
3
，
由勾股定理得：AD=
AC2-CD2
=3，
∴AB=AD+BD=3+
3
．
答：AB的长是3+
3
．
青果学院证明：（1）如图（1），∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=AB
AC=BD
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴BC=AD；

（2）如图（2），过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2
3
，
∴CD=
3
，
∴BD=CD=
3
，
由勾股定理得：AD=
AC2-CD2
=3，
∴AB=AD+BD=3+
3
．
答：AB的长是3+
3
．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，即可证出BC=AD，
（2）过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
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