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如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为E（1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．
（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥x轴交抛物线于D，过B作BC⊥x轴交抛物线于C．设A点的坐标为（t，0），四边形ABCD的面积为S．
①求S与t之间的函数关系式．
②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由． -
（1）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-
x+2n+1 n(n+1)
与x轴交于An，Bn两点，以An，Bn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2010B2010的值是1 n(n+1) 2010 2011 ．2010 2011
（2）如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CD为半径作BD，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x2-2(
+1)x+43
=0的两根，其中CD＜CE，连接DE交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为3
+7 3 4 π 6 ．
+7 3 4 π 6 
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已知抛物线y=-mx2+mx+n与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=5．
（1）请你写出一个对于任意m，n值（满足题意）都成立的结论，并说明理由；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设点B关于点A的对称点为B′，问：是否存在△BCB′为等腰三角形的情形？若存在，请求出所有满足条件的n值；若不存在，请直接作出否定的判断，不必说明理由． -
已知抛物线F1：y=ax2+2ax+3a的顶点为M．
（1）若M在双曲线y=
上，求此抛物线解析式．2 x
（2）将F1绕点M旋转180°后的抛物线为F2，
①若F2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知△ABC为直角三角形，求a的值．
②若F2与直线y=ax-3a交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点M，求a的值． -
如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0）和原点O．正方形BCDE的顶点B在
抛物线y=x2+bx+c上，且在对称轴的左侧，点C、D在x轴上，点E在第四象限，且OD=1．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）求正方形BCDE的边长．
（3）若正方形BCDE沿x轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线y=x2+bx+c上时，求平移的距离． -
如图，在平面直角坐标系中，有点M（0，-3），⊙M与x轴交于点A、B（点A在点 B的左侧），与y轴交于点C、E；抛物线y=ax2+bx-8（a≠0）经过A、C两点，点D是抛物线的顶点；
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）试探究：当a取何值时，抛物线y=ax2+bx-8（a≠0）的对称轴与⊙M相切？
（3）当点D在第四象限内时，连接BC、BD，且tan∠CBD=
．1 2
①试确定a的值；
②设此时的抛物线与x轴的另一个交点是点F，在抛物线的对称轴上找一点T，使|TM-TF|达到最大，请求出最大值与点T的坐标．
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如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C·B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2示．探究：三角板沿C·B方向平移的距离为；
（2）操作2：在（1）情形下，将三角板绕BC的中点M顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°）如图3示．探究：设三角板两直角边分别与AB、AC交于P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，发现其面积始终不变，那么四边形MPAQ的面积S四边形MPAQ=；
（3）在（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△APQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，△PQA面积有最大值，最大值是多少？ -
在直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上，与y轴交于点B，抛物线上一点C的横坐标为1，且AC=3
．10
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）若抛物线上有一点D，使得直线DB经过第一、二、四象限，且原点O到直线DB的距离为8 5
，求这时点D的坐标．5 -
在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心，半径为5的圆与x轴相交于点B，C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D，M（点D在点M的下方）．
（1）求以直线x=-3为对称轴，且经过点C，D的抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；
（3）若E为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由． -
二次函数的图象如图所示，P为图象顶点，A为图象与y轴交点．
（1）求二次函数的图象与x轴的交点B、C的坐标；
（2）在x轴上方的函数图象上存在点D，使△BCD的面积是△AOB的面积的6倍，求点D的坐标．