试题

已知抛物线y=-mx²+mx+n与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=5．
（1）请你写出一个对于任意m，n值（满足题意）都成立的结论，并说明理由；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设点B关于点A的对称点为B′，问：是否存在△BCB′为等腰三角形的情形？若存在，请求出所有满足条件的n值；若不存在，请直接作出否定的判断，不必说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴为x=-

m

2·(-m)

=

1

2

（答案不唯一）；

（2）抛物线为y=-mx²+mx+n=-m（x²-x+

1

4

）+n+

1

4

=-m（x-

1

2

）²+n+

1

4

，
所以，对称轴为x=

1

2

，
∵AB=5，
∴点A、点B到对称轴的距离为

5

2

，
∴B（3，0），A（-2，0）；

（3）存在△BCB′为等腰三角形的情形．
由已知得B′（-7，0），C（0，n）且C为y轴上的点，B′O＞BO，
则不可能有CB′=CB的情况，因此存在下面两种情况：
①若BB′=BC，则有10=

32+n2

，则有n=±

91

；
②若BB′=B′C，则有10=

n2+72

，则有n=±

51

；
所以，当n值为±

91

或±

51

时，存在满足上述条件的点．
解：（1）抛物线的对称轴为x=-

m

2·(-m)

=

1

2

（答案不唯一）；

（2）抛物线为y=-mx²+mx+n=-m（x²-x+

1

4

）+n+

1

4

=-m（x-

1

2

）²+n+

1

4

，
所以，对称轴为x=

1

2

，
∵AB=5，
∴点A、点B到对称轴的距离为

5

2

，
∴B（3，0），A（-2，0）；

（3）存在△BCB′为等腰三角形的情形．
由已知得B′（-7，0），C（0，n）且C为y轴上的点，B′O＞BO，
则不可能有CB′=CB的情况，因此存在下面两种情况：
①若BB′=BC，则有10=

32+n2

，则有n=±

91

；
②若BB′=B′C，则有10=

n2+72

，则有n=±

51

；
所以，当n值为±

91

或±

51

时，存在满足上述条件的点．