题目:
已知抛物线y=-mx
2+mx+n与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且AB=5.
(1)请你写出一个对于任意m,n值(满足题意)都成立的结论,并说明理由;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)设点B关于点A的对称点为B′,问:是否存在△BCB′为等腰三角形的情形?若存在,请求出所有满足条件的n值;若不存在,请直接作出否定的判断,不必说明理由.
答案
解:(1)抛物线的对称轴为x=-
=
(答案不唯一);
(2)抛物线为y=-mx
2+mx+n=-m(x
2-x+
)+n+
=-m(x-
)
2+n+
,
所以,对称轴为x=
,
∵AB=5,
∴点A、点B到对称轴的距离为
,
∴B(3,0),A(-2,0);
(3)存在△BCB′为等腰三角形的情形.
由已知得B′(-7,0),C(0,n)且C为y轴上的点,B′O>BO,
则不可能有CB′=CB的情况,因此存在下面两种情况:
①若BB′=BC,则有10=
,则有n=±
;
②若BB′=B′C,则有10=
,则有n=±
;
所以,当n值为±
或±
时,存在满足上述条件的点.
解:(1)抛物线的对称轴为x=-
=
(答案不唯一);
(2)抛物线为y=-mx
2+mx+n=-m(x
2-x+
)+n+
=-m(x-
)
2+n+
,
所以,对称轴为x=
,
∵AB=5,
∴点A、点B到对称轴的距离为
,
∴B(3,0),A(-2,0);
(3)存在△BCB′为等腰三角形的情形.
由已知得B′(-7,0),C(0,n)且C为y轴上的点,B′O>BO,
则不可能有CB′=CB的情况,因此存在下面两种情况:
①若BB′=BC,则有10=
,则有n=±
;
②若BB′=B′C,则有10=
,则有n=±
;
所以,当n值为±
或±
时,存在满足上述条件的点.