试题

题目:
已知抛物线y=-mx2+mx+n与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且AB=5.
(1)请你写出一个对于任意m,n值(满足题意)都成立的结论,并说明理由;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)设点B关于点A的对称点为B′,问:是否存在△BCB′为等腰三角形的情形?若存在,请求出所有满足条件的n值;若不存在,请直接作出否定的判断,不必说明理由.
答案
解:(1)抛物线的对称轴为x=-
m
2·(-m)
=
1
2
(答案不唯一);

(2)抛物线为y=-mx2+mx+n=-m(x2-x+
1
4
)+n+
1
4
=-m(x-
1
2
2+n+
1
4

所以,对称轴为x=
1
2

∵AB=5,
∴点A、点B到对称轴的距离为
5
2

∴B(3,0),A(-2,0);

(3)存在△BCB′为等腰三角形的情形.
由已知得B′(-7,0),C(0,n)且C为y轴上的点,B′O>BO,
则不可能有CB′=CB的情况,因此存在下面两种情况:
①若BB′=BC,则有10=
32+n2
,则有n=±
91

②若BB′=B′C,则有10=
n2+72
,则有n=±
51

所以,当n值为±
91
或±
51
时,存在满足上述条件的点.
解:(1)抛物线的对称轴为x=-
m
2·(-m)
=
1
2
(答案不唯一);

(2)抛物线为y=-mx2+mx+n=-m(x2-x+
1
4
)+n+
1
4
=-m(x-
1
2
2+n+
1
4

所以,对称轴为x=
1
2

∵AB=5,
∴点A、点B到对称轴的距离为
5
2

∴B(3,0),A(-2,0);

(3)存在△BCB′为等腰三角形的情形.
由已知得B′(-7,0),C(0,n)且C为y轴上的点,B′O>BO,
则不可能有CB′=CB的情况,因此存在下面两种情况:
①若BB′=BC,则有10=
32+n2
,则有n=±
91

②若BB′=B′C,则有10=
n2+72
,则有n=±
51

所以,当n值为±
91
或±
51
时,存在满足上述条件的点.
考点梳理
二次函数综合题.
(1)根据二次函数解析式,所写结论与m、n值无关即可,例如抛物线的对称轴;
(2)把函数解析式整理成顶点式形式,然后根据对称轴与AB的长度确定出点A、B到对称轴的距离,从而得解;
(3)先求出点B′、C的坐标,然后判断出B′O>BO,可得CB′≠CB,再分CB′=CB与BB′=B′C两种情况利用勾股定理列式进行计算即可得解.
本题是二次函数综合题型,主要考查了二次函数的性质,二次函数的对称性,等腰三角形的性质,(1)关键在于所写结论与m、n值无关,(3)要根据等腰三角形腰长的不同分情况讨论.
代数几何综合题.
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